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切断正規分布 (せつだんせいきぶんぷ) は正規分布と似ているが、確率変数
の定義域が有限な確率分布である。上下とも有界 (A ≤ x ≤ B) なものを二重に切断された正規分布、どちらか一方だけのものを単一切断正規分布という。
定義と性質[編集]
切断正規分布の確率密度関数は以下で定義される。
![{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {{\frac {1}{\sigma }}\phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a81d276154fb0ee947a63648d90b806fc26f5d8)
ここで
は標準正規分布 N(0, 1) の確率密度関数、
は標準正規分布 N(0, 1) の累積分布関数である。
モーメント[編集]
切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|A<X<B)=\mu +{\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb0c72f545317facaad03359bb07a9716eed9a4)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X|A<X<B)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}-\left({\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7640fc71db437a2cc9e0ab8f2283aa4f997dc639)
であり、単一切断正規分布の場合は
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|X>A)=\mu +{\frac {\sigma }{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c7d60b8f9e6b9e7979628f91bee57dfbddee75)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>A)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {\frac {A-\mu }{\sigma }}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left\{{\frac {1}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}\right\}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3510996b37f68358250079eb4ae5a1cca384920e)
である。ここで
![{\displaystyle R\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1-\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}{\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10573a65084b7a6fa95822622fe6d14a32661519)
は、ミルズ比である。
参考文献[編集]
- 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
関連項目[編集]
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離散単変量で 有限台 | |
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離散単変量で 無限台 | |
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連続単変量で 有界区間に台を持つ | |
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連続単変量で 半無限区間に台を持つ | |
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連続単変量で 実数直線全体に台を持つ | |
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連続単変量で タイプの変わる台を持つ | |
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混連続-離散単変量 | |
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多変量 (結合) | |
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方向 | |
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退化と特異 | |
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族 | |
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サンプリング法(英語版) | |
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